兩股差1的整數邊直角三角形

有一直角三角形

三邊邊長皆正整數

而兩股長度差1

請問它的三邊長為何？答案是有限組呢？還是無限多組？若是有限多組

請找出所有的解；若是無限多組

請給通式。

我自己曾經算過一下

a

b

c(c是斜邊

b=a 1)寫成參數式是a=[-1 √(2*t^2-1)]/2b=[1 √(2*t^2-1)]/2c=t用Excel算

t在100以下只有(3

4

5)和(20

21

29)兩組解

但是我想知道所有的解。

謝謝囉！

(To Felix: 有空再討論)aa bb=cca=uu-vvb=2uvc=uu vvuu-vv-2uv=1 or -1let p=u-vpp-2vv=1 or -1 .... 沛兒方程式sqrt(2)連分數 =(1;2

2

2

....)漸近連分數:(p/v)=1/1

3/2

7/5

17/12

41/29

...遞迴關係: p(n 2)=2p(n 1) pnu(n 2)=2u(n 1) unv(n 2)=2v(n 1) vnu

v

p的特徵方程式:rr=2r 1r=1 sqrt2r'=1-sqrt(2)v0=0v1=1vn=(r^n-r'^n)/(r-r')un=(r*r^n-r'*r'^n)/(r-r')b=2uv=2(r^n-r'^n)(r*r^n-r'*r'^n)/(r-r')^2a=b (-1)^n----------p

v

u

a=uu-vv

b=2uv

c=uu vv1

0

1

1

0

11

1

2

3

4

53

2

5

21

20

297

5

12

119

120

16917

12

29

697

696

98541

29

70

4059

4060

574199

70

169

23661

23660

33461239

169

408

137903

137904

195025577

408

985

803761

803760

11366891393

985

2378

4684659

4684660

66251093363

2378

5741

27304197

27304196

386139658119

5741

13860

159140519

159140520

22505868119601

13860

33461

927538921

927538920

1311738121.....
關於pell方程式與連分數

遞迴關係的聯結

http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html 提到:式1: xx-Dyy=1 (通常有解)式5: xx-Dyy=-1 (D=4k時沒解

D=4k 1型必有解)如果有解

都可以由連分數解出--------式6~27就是由連分數轉遞迴關係解題式30~35給出了一個好玩的公式解式38~41 推擴xx-Dyy=c的解型有興趣的人可以研究研究--------式30~35給出了一個好玩的公式解:如果我們知道 xx-2yy=1的1個非零解 (x=3

y=2)(3^2-2*2^2)=(3 √8)(3-√8)令 (x √2*y)(x-√2*y)=(xx-2yy)=1=1^n=(3 √8)^n* (3-√8)^n==